如何求切线方程

如何求切线方程

本文，用Mathematica来计算参数方程曲线的切线。

切线的存在，前提是，曲线在相应的点上，可微，或者可导。如果无法求导，就表示这个位置上不存在切线。

给出一条平面曲线：

r = {t Sin[t], t Cos[t]}；

绘制曲线的图像：

ParametricPlot[r, {t, -2 Pi, 5 Pi}, PlotStyle -> Blue]。

t=Pi的时候，在曲线上画出这个点：

Graphics[{Red, PointSize[0.01], Point[r /. t -> Pi]}]；

点的颜色是红色。

计算这个点位置上的切向量：

qie = D[r, t] /. t -> Pi；

原则是先求导再赋值。

在曲面上绘制切向量：

Graphics[{Green, Arrow[{r /. t -> Pi, r + D[r, t] /. t -> Pi}]}]；

用绿色表示。

算出切线的参数方程：

Solve[{x, y} - r == u D[r, t] /. t -> Pi, {x, y}] // Values // Flatten；

参数用u表示。

消去参数u，就得到直线的方程式：

Eliminate[{x == -Pi u, y == -Pi - u}, u]；

直线仍旧沿用x和y来表示。

作出这条直线的图像：

ContourPlot[

Evaluate[Eliminate[{x, y} ==

Evaluate[

Solve[{x, y} - r == u D[r, t] /. t -> Pi, {x, y}] // Values //

Flatten], u]], {x, -15, 15}, {y, -15, 15}, ContourStyle -> Pink]；

图中的粉色直线与切向量重合，说明这真是切线。

采用交互的方式，展示不同位置上的切线。