快速秒杀等差数列问题的杀手锏——等差中项

快速秒杀等差数列问题的杀手锏——等差中项

也许读者对等差数列这四个字眼并不会感到陌生，这个从小学开始就一直陪伴着各位走到高中的家伙。然而相处时间久并不一定就表示你对他很熟悉，尤其是很多同学到了高中仍然沿袭着以前a1与d的传统模式解决等差的问题，这种原始的方法无疑十分低效，尤其是遇到疑难杂症的时候。那么下面将要介绍的就是一种对等差数列问题基本上起到秒杀作用的杀手锏——等差中项。从某种意义上来讲可以称得上是“等差数列之魂”。

由于很多公式字母不方便直接手打，因此先采用截图的方式把等差中项的妙用大致介绍一遍，接下来将会把图中的重要部分概括下。

在学习数列的时候，我们就应该带着这样一种观念——数列其实是一种特殊的函数（除了定义域大幅缩小）。等差数列就可以看做是某个一次函数上的一连串等距整齐排列点的组合。而对于任意一个函数f(x)，如果它具有对称中心（a，f(a)），那么必定满足f(a-x)+f(a+x)=2f(a)。况且函数演变为数列时对称方面的性质是全部保留的，而且一次函数上的任意一点都可以看作该函数的对称中心，因此任取一次函数y=px+q，任取一点（x0，f(x0)），对任意实数t，都有f(x0-t)+f(x0+t)=2f(x0) ，对于任意等差数列a=pn+q也不例外。a看作f(n)，n看作x0，令t=1，于是就有a+a=2·a，这就是基本的等差中项式。

那么等差中项如何用在an的前n项和中？举个例子，假如某个函数对称中心是（4，f(4)），那么由对称性知f(3)+f(5)=f(2)+f(6)=f(1)+f(7)，于是f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=7·f(4)。等差数列也是一样，在函数中叫做中心，在等差中就叫中项。本来每一项都可以作为中项，但是我们可以根据需要找出一串数列中合适作为该数列中项的那一项。比如等差数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7它的等差中项就是a4，于是a3+a5=a2+a6=a1+a7=2·a4，这7项和S7=7·a4 。推广到一般结论即S<2n-1>=(2n-1)·a，这就是用等差中项表示前n项和的一般公式。与基本量相比，该式相当简洁浓缩，十分便于使用。

由S<2n-1>=(2n-1)·a可见如果项数为奇数时等差中项易于寻找。那么项数为偶数，比如S8呢？也许一般人都会找到S8=4（a4+a5），但是我们在上文说过，数列其实就是一种特殊的函数，只不过数列的定义域相对缩小了很多，但是函数所具有的对称性质在数列中亦成立。因此我们认为a4+a5=2·a4.5亦成立，该式放在对应的一次函数中是必然成立的，只不过由于函数转为数列时定义域缩短而导致很多人可能会认为a4.5的角标不合规矩，从而难以接受该式。但如果知道了数列的由来，我们就可以默认该式成立，于是得到S8=8·a4.5，同样符合上述公式。

其实不仅只是前n项和才能用等差中项，例如a5+a6+a7+a8+a9=5·a7也可以把a7看作是该数列的等差中项。其实等差中项很容易寻找，就是一串等差数列最中间的那一项，如果项数为偶数就把中间两项之间的中位项看作等差中项。比如a5+a6+a7+a8=4·a6.5就把a6.5看作等差中项。

从以上图示的几个问题中不难看出等差中项相对于常规方法的绝对优势之所在。不难看出等差中项所适用的范围主要还是求a3，S7这类有具体数值的等差问题。如果待求目标是an或Sn这样的通项，那么等差中项法不再适用。