高等数学入门——费马引理与罗尔定理

高等数学入门——费马引理与罗尔定理

这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释，并配以一些例题，大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，难度适中，其中包含一些考研数学中的经典题目。本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导，高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。既然是入门，就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容（例如用ε-δ语言证明极限，以及教材中多数定理的证明），有些较深入的问题（例如无穷大与无界的区别和联系，导函数的特性，拉格朗日中值定理的证明思路等）我们会以专题文章的形式给出，供有兴趣的读者选读。

本系列上一篇见下面的“经验引用”。

5“导数与微分”的综合性例题选讲

概述。

导数概念在数学中有着广泛应用，例如高中阶段熟悉的用导数判断函数单调性等。这些应用的理论基础是一系列“微分中值定理”，本节我们先介绍两个基础性的定理：罗尔定理，及其证明中要用到的费马引理。

“微分中值定理”是高等数学中难度较大的内容，所涉及的题目灵活，且多为证明题，在各类高等数学考试中大多作为难题出现（尤其得考研数学的“青睐”）。对此我们也不必有畏难情绪，先从基本内容出发，理解好定理本身，再逐步提高。

对费马引理的“感性认识”。

费马引理的内容及驻点定义。

从费马引理到罗尔定理。

再次观察讨论费马引理时的示意图，可以发现此函数图像的特点在于端点A,B的连线与x轴平行，即满足f(a)=f(b)。一般情形下，设f(x)在[a,b]上连续，则根据闭区间上连续函数的性质，f(x)必能在[a,b]上取得它的最大值M和最小值m，设M>m，由于f(a)=f(b)，故至少有一个最值不在a和b处取得，即至少有一个最值点位于开区间(a,b)内，这样的点ξ当然也是f(x)的极值点，若再假设f(x)在(a,b)内可导，则根据费马引理有f'(ξ)=0。

罗尔定理的内容。

对罗尔定理三个条件的分析。

在学习罗尔定理时，初学者往往把注意力集中在条件f(a)=f(b)上，而忽略了另外两个条件。事实上，这三个条件是缺一不可的。

附录一：费马引理的严格证明。

附录二：罗尔定理的严格证明。